수학자에게 공리란 요리사에게 필요한 기본 식재료와 같다. 공리는 수학 이론(혹은 수플레)의 필수적인 구성 요소다. 공리 없이는 아무 것도 할 수 없지만 공리가 있으면 온전한 우주를 만들 수 있다. (중략)
그렇다면 폰 노이만과 모르겐슈탕니이 어떤 공리계(axiom system)를 제안했는지 살펴보자. 첫 번째 문제는 사람들이 항상 확실한 선택을 하지는 못한다는 것이다. (중략) 한마디로 결정을 못 하기 때문이다. 게임 이론을 적용하면 이런 일이 발생할 수 없다. 게임 이론은 항상 명백한 답을 요구한다. 그러니 공리가 필요하다. 그렇게 해서 폰 노이만과 모르겐슈탕니의 첫 번째 공리가 등장했다.
- 완전성(completeness) : A와 B, 두 가지 사건이 있는 상황에서 B보다 A를 선호할 수도 잇고, A보다 B를 선호할 수도 있고, 둘 중 어떤 것이든 상관하지 않을 수도 있다. 수학 기로로는 이를 A>B, 혹은 B>A, 혹은 A=B라고 표시활 수도 있다.
(중략)
민주적인 가치를 중요하게 여긴느 세 사람은 다수결의 원칙을 따르기로 한다. 세 사람이 투표를 하자 선호도가 금세 명확해진다. (중략) 1인 1투표라는 가장 합리적인 방안을 사용했음에도 불구하고 세 사람은 여전히 만족하지 못하고 있다. (중략)
이런 상황은 프랑스의 귀족이자 수학가이며 철학자이자 정치인인 마리 장 앙투안 니콜라 드 카리스타, 콩르세 후작의 이름을 따 콩도르세의 역설('Condorcet's Paradox'라고도 불리며 단순한 다수결을 통한 투표가 구성원의 선호를 제대로 반영하지 못할 수도 있음을 입증하기 위한 논리)이라고 불린다. 선택 결과가 무엇이건, 다수는 항상 다른 대안을 선호한다는 것이 바로 콩도르세의 역설이다. 수학적인 용어를 사용하면 "다수결의 의견은 이행적(transitive)이지 않다"라고 표현할 수 있다.(수학에서 이행적이라는 것은 a와 b와 관계가 있고 b가 c와 관계가 있으면, a가 c와 관계가 있다는 의미다) 민주주의를 생각하면 얼마나 심각한 결과인가. 게임 이론에도 얼마나 문제가 되겠는가. 그러니 다시 검증된 행동 방식으로 되돌아가 보자. 다시 말해서 또 다른 공리를 만들어내 보자.
- 이행성(transitivity) : A가 B보다 선호되고 B가 C보다 선호되면 A가 C보다 선호된다. 수학 기호로는 A>B>C-> A>C라고 표시할 수 있다.
(중략)
-연속성(Continuity) : A가 B보다 선호된고 B가 C보다 선호되면, 의사 결정자가 A와 C의 가중 평균치와 B 중 한쪽을 특별히 선호하지 않을 확률이 있다. 수학 기호로는 p는 0과 1 사이에 존재하는 수자이며 B=pA+(1-p)C라고 표현할 수 있다.
네번째 공리가 어쩌면 가장 이상한 것일 수도 있다. 네 번째 공리는 무관한 변수의 독립성이라고도 불린다. 두 대안 중 하나를 선택할 때 관련 없는 용인의 영향을 받아서는 아된다는 개념이다.(중략)
-독립성(Independence) : 어떤 대안이 존재하건 선호도는 달라지지 않는다. 수학적으로 표현하면 A>B이면, C의 값이 무엇이건 a가 0과 1 사이에 존재하는 값이기만 하면 aA+(1-a)C > aB + (1-a)C이다.
(중략)
"사람들이 도박을 하거나 보험에 가입하기 전에 구불구불한 효용 곡선을 고려하고, 자신이 택할 수 있는 보험 상품과 도박의 배당률을 알고, 도박이나 보험 상품의 기대효용을 계산할 수 있고, 기대효용의 크기에 따라 결정을 내린다고 가정하는 것은 너무 비현실적인 일이 아닐까?"
그렇다. 틀림없이 비현실적이다. 결정을 내리기 전에 자신의 효용함 수를 검토하고 복잡한 계산을 하는 사람은 아무도 없다. 하지만 프리드먼과 새비지는 이런 식의 이의는 적절하지 않다고 주장한다. 두 사람들은 의사결정자들이 마치 효용함수를 검토한 것처럼, 마치 배당률을 알고 있는 것처럼, 마치 기대 효용을 계산한 것처럼 행동한다고 보는 것이 적절하다고 주장한다. 이론의 타당성은 가설과 관련 있는 결정의 종류를 충분히 정확하게 예측할 수 있는가에 달려 있다. 두 사람은 비유하자면 당구를 치는 사람이 마치 탄성 충돌 방정식을 알고 있는 사람처럼 눈대중으로 각도를 정확하게 측정하고, 재빨리 계산한 다음 고을 치는 것과 같다고 이야기한다.
(중략)
"또한 그러므로 포트폴리오의 기대 가치를 극대화하려면 단 하나의 증권에만 투자해야 한다. 그러나 필자는 투자자들이 이런 식으로 행동하지 않으며, 그래서도 안 된다는 사실을 알고 있다. 투자자들은 수익뿐 아니라 위험에도 관심이 있기 때문에 다각화를 택한다."
(중략)
엘즈버그가 발견한 내용은 그다지 유쾌한 것이 아니었다. 충격적이게도 그는 "핵전쟁의 위험은 어느 한쪽이 기습 공격을 감행할 공산에서 비롯되는 것이 아니라 위기가 단계적으로 확대될 가능성에서 비롯된다."라는 사실을 깨닫느다.
(중략)
합리적이라고 여겨지는 경제적 인간, 혹은 '호모 오이코노미쿠스'라는 좀 더 허세 가득한 이름으로 불리는 존재는 명백한 선호, 방대한 지식, 완벽한 정보, 무한한 계산 능력을 갖춘 것으로 가장된다. 노벨상 수상자 라인하르트 젤텐이 늘 이야기했듯 "완전히 합리적인 사람은 모든 수학 문제에 대한 답을 알고 얼마나 어렵건 즉각 모든 계산을 해낼 수 있는 신화 속에 나오는 영웅이다."
하지만 안탑깝게도 선호는 애매모호할 때가 많고(즉, 효용함수의 값이 여러 개일 수도 있다), 정보 접근성은 불완전하며, 계산 역량은 제한적이다. 사이먼은 곧 진짜 인간은 경제적 인간에게 기대되는 일을 해 낼 수 없다는 심오한 깨달음에 도달했다. 이것이 바로 우리가 역설처럼 보이는 문제에 걸려드는 이유다.
(중략)
누군가 실제로 이런 과정을 다 거쳐 결정을 내리리라고 가정하는 것은 분명히 터무니 없다. 따라서 사이먼은 "인간이 실제로 합리성을 추구하는 수준은 기껏해야 게임 이론 모델 같은 것에 함ㄷ축된 보편적인 합리성 같은 것을 아주 대충 간소하게 만든 수준에 불과하다"라고 결론 내렸다.
서평 :
1. 고대 때 부터, 현대에 이르기까지 불확한 존재를 예측하고 그를 위해 수학이라는 도구를 적용하는 인간의 노력에 대한 역사에 대해 정리한 책
2. 사실 금융공학 책을 볼 때, 이 어려운 이론을 모두 다 적용하고 확인한 후 투자를 한다고?라고 생각이 들었는데. 이 책에서는 반대로 그런거 없다는걸 보여줌.
3. 결국 시대에 따른 인간에 대한 믿음, 혹은 이지에 대한 설명 차이일 지도 모른다. 고대에서 ~ 근대까지는 인간을 이성적 존재라고 믿었다면(그래서 수학적 예측이 가능한 존재라고 믿은) 그것이 전쟁을 통해 부서지자 비 이성적인 사항으로 바뀌어 가는게 이 책의 내용이 아닐까 싶다.
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