[도서] 역사로 배우는 공학수학

 

'하나에 둘을 더하면 셋'과 '1+2=3'이 전달하는 내용은 동맇다고 볼 수 있지만, 그 간결성과 외연성은 비교하기 힘들 정도로 차이가 있다. 등호는 Recorde(1510~ 1558, UK; 1557)에 의해서 각각 도입되었으며, 간단한 1차 방정식에 대한 표현 y=ax+b 가 17세기에 들어와서야 보편화되기 싲가했다는 사실은 장구한 서양 수학의 역사를 생각하면 잘 믿어지지 않을 수도 있다. 물론 이 1차 방정식을 직선과 관련지어 생각한것은 제 1장에서 밝힌 바와 같이 Descartes의  직각좌표계가 도입된 1637년 이후에나 일반화 된 사고였다.

 한편, 대수학의 가장 기본적인 과제 중의 하나는 n차 방정식의 근에 관한 문제였다. Gauss(1799)는  그의 박사학위놈문에서 '만약 복소수를 허영한다면' 실수계수를 가지는 n차 방정식은 항상 n개의 근을 가진다는 것을 증명하였으며, 이 결과는 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)로 불린다.

이 정리를 오늘날은 지극히 당연하게 들리는 내용을 담고 있지만, 발표 당시만 해도 상당한 오해 및 분란의 소지를 안고 있었다. Hamilton(1843)에 의해 복소수가 두실수의 순서쌍이라는 개념이 밝혀지기 전까지, 복소수의 특히 허수의 수용을 놓고 18세기와 19세기의 수학계는 그야말로 난맥상을 보인다. 대가 중의 대가라고 하는 Euler(1770)까지도 그의 대수학 교과서에서 믿기 어려운 착오, 즉 sqrt(a) sqrt(b) = sqrt(ab) 이므로, sqrt(-1) sqrt(-4) = sqrt(4) = 2 라는 결과를 보여 주고 있다. 

 따라서 Gauss의 입장에서는 '복소수를 허용한다면'하는 기술은 상당한 위험 부담이 따르는 것이었으며, 이런 관점에서 보면 Euler 공식과 관련하여 다음과 같은 식이 수학사 2000년을 담고 있다고 술회한 Euler(1755)의 술회를 곰씹어 볼 만하다.

e^(i pi) = -1

 

18세기 수학자들의 입장에서분만 아니라 우리 학생들에게도 식 (1)은 좀 더 생각해 볼 필요가 있는 식이므로, 수업 시간에 항상 이 식과 고나련하여 어느 정도는 시간을 보내곤 한다.

  첫째, 이 식은 등호를 가진 방정식이란 점에서 이미 상당히 오랜 기간의 수학 역사를 가지지 않은 문명에서는 얻어질 수 없는 식이다.

 둘째,  이 식은 음수를 포함하고 있어, 실수의 개념이 최소한 음수까지는 확장된 것을 보여주고 있다. 믿기 힘들지만 19세기 중엽까지도 음수를 실수의 일부로 받아들이지 않았던 수학자들이 많이 있었다는 점을 상기하기를 바란다.

 셋째, 이 식은 가장 대표적인 무리수(irrational number)인 pi와 e를 포하하고 있다. pi는 원주와 직경의 비인데, pi란느 표기 또한 Euler(1755)에 기인하는 것이며, 주어진 원과 같은 면적을 가지는 정사각형의 한 변의 길이를 구하고자 하면 반드시 알아야 한느 수록, 인류가 가장 무리가 ㅇ벗어 보이는 원과 관련하여 기하학적으로 만단 무리수다.(중략)

   넷째, 이 식은 허수 i = sqrt(-1)를 포함하고 있는데, i라는 표기 역시 Euler(1777)에 기인하였으며, 제곱의 역연산인 제곱근을 구함에 있어 음수까지 그 영역을 확장하면, 그 결과는 실수의 한계를 벗어나야만 한다는 사실을 인지한 후에야 이와 가은 표현을 허용할 수 있음을 상기해야 할 것이다.

  다섯째, 이 식은 지수함수의 자변수(argument)로서 허수를 취하고 있다.  2^2, 3^3 등은 제곱을 거듭해줌으로써 계산 가능하지만, 일단 2^(sqrt(2))만 되어도 실수의 승수가 무리수일 경우에는 어떻게 계산을 수행할 것인지 잠깐 생각해야 할 것이다.(중략)

 

 이와 같은 우여곡절 끝에 수학자들의 연구 대상이 된 행렬과 행력식에 대해, Cayley와 Sylvester는 행렬을 선형변환(linear transformation)으로 파악하고, 이 선형 변환과 관련하여 좌표변환에 따라 변화하지 않는 양, 즉 불변량( invariant)에 관한 더욱 심도 있는 연구를 진행하였으며, 그들에 의해 얻어진 결과는 20세기에 들어서 현대물리, 수치계산 등에 엄청난 영향을 미쳐 왔다.

 

서평 : 책 초기에는 책 제목대로 역사와 그 당시 마주친 문제로 인해서 어떤 수학이 발명 되어 왔다는 내용을 잘 표현하는데, 역시 방대한 양 탓인지 책의 후반으로 가면서는  공식 전달하기에 좀 급급한게 아닌가 싶다. 그러나 수학 교과서에서는 결코 말해 주지 않는 그 시대의 고민에 대해 말해 준다는 점은 엄청나게 고마운 책